ESTUDIAR MATEMATICA EN CASA

Sugerencias para docentes 

Sea cual fuere el enfoque de enseñanza de la matemática adoptado, todos los docentes acuerdan en la importancia del tiempo extraescolar dedicado al estudio, ya que éste  aporta a la estructuración personal del saber que todo alumno efectúa de manera individual. 

El sentido fundamental de las tareas extraescolares es el de la extensión del tiempo de trabajo con el contenido para favorecer una mejor apropiación del mismo y un afianzamiento en su disponibilidad. Para que esto sea posible, las tareas deben estar articuladas con la secuencia de enseñanza y el tipo de práctica matemática que se promueve en el aula. 

Por eso, si bien en esta oportunidad se presentan sugerencias, cada docente podrá hacer la selección que crea conveniente en función de los recorridos de aprendizaje de su grupo. 

Más que resolver 

Al proponer las actividades es necesario tener en cuenta que conviene incluir no sólo aquellas que requieren resolver un cálculo, un problema, una construcción geométrica, sino otras que involucren: 

*explicar los procedimientos utilizados con una consigna como “explicá cómo lo pensaste” ó “cómo te parece que pensó el que hizo este procedimiento” 


* dar razones acerca de un procedimiento o un resultado a partir de consignas como “¿por qué resolviste así?” o “¿cómo se puede estar seguro de que ese resultado es correcto?”, o “¿podría haber otras soluciones?. 

También es posible profundizar en el conocimiento que se trata en un problema, incorporando nuevas preguntas en él a partir de una modificación de los datos para responder sin tener que volver a resolver el problema: 

*si en lugar de 12 botellas de gaseosa con 2 y ½ litros cada una, se compran 24 botellas del mismo tipo ¿cuántos litros se han comprado? 

Sobre las actividades de cálculo 

Las propuestas tradicionales se pueden enriquecer a través de actividades que involucren otras formas de calcular y una reflexión sobre los números que intervienen. 

Son las actividades de “cálculo mental”, tanto exacto como aproximado y problemas organizados alrededor del análisis de las cuentas, con o sin uso de la calculadora. 

El análisis podría plantearse tanto al pedir la comparación entre distintos procedimientos, como al establecer relaciones entre números de una misma cuenta o entre distintas cuentas. Por ejemplo, se pueden proponer actividades como las siguientes, para:  anticipar el número de cifras que tendrá el resultado de una operación antes de realizarla: 

Encontrá, sin hacer la cuenta, el número de cifras del cociente de cada una de las siguientes divisiones. Explicá cómo pensaste en cada caso. Luego efectuá las operaciones indicadas. 


256 : 19 = 185 : 25 = 893 : 11 = 


602 : 56 = 729 : 40 = 105 : 90 = 


Encuadrar el resultado de una operación 

Señalar entre qué números se encuentra el resultado de 428 - 103 (sin hacer la cuenta) 

a) 100 – 200 b) 200 – 300 c) 300 - 400 

Establecer relaciones entre números 

Resolvé las siguientes cuentas 

7,30 x 0,25= 7,30 x 0,75= 7,30 x 1= 

a) Sin hacer ninguna cuenta, propone un número que al multiplicarse por 7,30 dé un resultado menor que 7,30. Explicá como pensaste. 

b) Sin hacer ninguna cuenta, propone un número que al multiplicarse por 7,30 dé un resultado mayor que 7,30. Explicá como pensaste. 

Sabiendo que 36 x 4 = 144 resolvé sin hacer la cuenta 

36 x 2 = 36 x 8 = 72 x 4 = 

18x 4 = 18 x 8 = 36 x 40 = 

Utilizar propiedades para facilitar procedimientos de cálculo 

Escribí de dos maneras distintas estos cálculos como producto de dos números y resolvé usando la que te resulte más cómoda o fácil. 

6 x 3 x 2 = 4 x 2 x 3 = 4x 2 x 2 = 6 x 4 x 2 = 

5 x 2 x 2 x 5 = 4 x 2 x 2 x 2 = 2 x 6 x 3 x 2 = 

Establecer relaciones entre números y argumentar sobre su validez 

¿Sirve el resultado de la primera cuenta para anticipar el resultado de la  segunda? ¿De qué forma? ¿Vale esto para otros pares de números? ¿Cuáles? 

a) 375 / 25 y 375 / 50 ; 456/12 y 456/24 ; 6354/9 y 6354/18; 367/25 y 367/52 

b) 375/25 y 750/25 ; 456/12 y 912/12 ; 6354 /9 y 12708/18? 

También se puede proponer un trabajo similar utilizando la calculadora a partir de propuestas como las siguientes: 

Si en una calculadora no funciona la tecla del 8. ¿Cómo puedes hacer para calcular 86 X 28 ?
Si no funciona la tecla de dividir. ¿Cómo puedes hacer para resolver 178 : 8 = 144 : 6 = 385 : 9 = 

Si en el trabajo de aula se incluye el uso de juegos como recurso para aprender, es posible proponer como tarea actividades complementarias en las que se analicen situaciones similares a las vividas en el juego. Por ejemplo, a partir de jugar a algún juego de tablero tipo Oca: 

Juan está en el casillero 12. Si saca 5 ¿en que casillero “caerá” su ficha? 

La ficha de Juan cayó en 3, 7, 10, 14, 18, 24, 29, 32. Indicá en que tiro sacó 5 

Sobre los problemas aritméticos 

Para que la resolución de un problema pueda ser enfrentada por los alumnos apelando a sus conocimientos, es importante que los enunciados que se presentan sean verosímiles. 

Así, resulta difícil tener el control de lo que se hace cuando el contexto no resulta un elemento que permite evaluar la razonabilidad del resultado como por ejemplo cuando se trata de “contar las manchas de una jirafa”, “calcular las hojas que quedaron en la plaza después del ventarrón” o “expresar en mm la distancia entre dos ciudades”. 

Por otro lado, en relación con la selección de los problemas es importante tener en cuenta que el enunciado debe tener sentido en el campo de conocimientos de los alumnos, sin que la respuesta sea evidente, y permitir que cada alumno pueda desarrollar alguna estrategia para resolverlo o para argumentar sobre la resolución realizada por otro. 

Por otra parte, es conveniente incluir una variedad de contextos y representaciones. En este sentido se recomienda incluir, además de problemas en contextos derivados del uso de los conocimientos en la vida cotidiana, otros problemas que planteen desafíos numéricos o geométricos y que no refieren a ellas. Por ejemplo, analizar un algoritmo y verificar que conduce al resultado buscado. Otro aspecto que cabe destacar tiene que ver con los datos, las incógnitas y las soluciones de los problemas. Por ejemplo, en la presentación de los enunciados no solo deben presentarse los datos necesarios, es conveniente que en algunas situaciones falten datos como así también que entre los datos incluidos algunos sean irrelevantes, innecesarios y hasta contradictorios. En relación con la presentación de los datos, esta debe ser variada, es decir, que deben utilizarse distintos portadores como ser propagandas, pasajes, horarios, facturas, tickets, noticias periodísticas, etc., exigiendo de esta manera la lectura e interpretación de distintas representaciones gráficas que en muchos casos lleva a la obtención de nuevas informaciones. 

Sobre los juegos 

También es posible, en articulación con la tarea de clase, hacerlos jugar con personas de su familia. En este caso es conveniente que el docente promueva la realización de un conjunto de juegos que den lugar a cálculos del tipo de los que esté interesado en retomar en clase al volver del receso. 
Es el caso por ejemplo, de algunos juegos con reglas usualmente conocidas en los hogares como la generala, la guerra o la escoba de 15, para los que también será sencillo proponer algunas versiones didácticas como por ejemplo la escoba del 10 (se levantan las cartas que suman 10). 

Para la vuelta a clases 

La recuperación en clase de estas tareas, incluye la revisión del docente de los resultados obtenidos por cada alumno, señalando lo correcto o incorrecto, o la revisión conjunta en un espacio de auto corrección, en el que la tarea se realiza en el pizarrón y cada alumno verifica la concordancia o no de su tarea con la respuesta correcta. 

En este sentido, resulta importante tomar en cuenta la información sobre los aciertos y dificultades observados en las producciones de los alumnos, para tomar decisiones relativas a la enseñanza, incluyendo el diseño de estrategias de remediación y recuperación.

Es conveniente retomar alguna situación que presentó dificultad para la mayoría de los alumnos para discutirla entre todos y elaborar conclusiones matemáticas y aportar luego alguna nueva situación que permita reinvertirlas. 

Según cuál haya sido el problema propuesto, en la recuperación de la tarea se podrá  centrar la atención en diferentes aspectos inherentes al trabajo matemático, como el análisis de resultados, la comparación de diferentes procedimientos o representaciones que hayan utilizado los alumnos, la argumentación sobre la validez de lo producido o la formulación de un nuevo problema. Dónde consultar Recomendamos consultar en los enlaces siguientes las actividades oportunamente elaboradas desde la Dirección de Gestión Curricular como apoyo a la tarea cotidiana del docente y que se encuentran publicadas en la página del Ministerio de Educación de la Nación. 


http://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html 


Cuadernos para el aula. Primero y segundo ciclo de EGB / Nivel Primario 

Los Cuadernos para el aula son materiales producidos para las maestras y maestros del nivel inicial y cada uno de los años del primer ciclo de EGB/Primaria. Pretenden apoyar las prácticas de los maestros en las aulas con propuestas para la enseñanza. Material en formato Pdf. 
1er. año - 2do. año - 3er. año - 4to. año - 5to. año - 6to. año 


Dieta saludable y hábitos de higiene

La importancia de educar para la buena alimentación, los hábitos de higiene y el cuidado del cuerpo
La educación es la base de casi todas las conductas del ser humano y los hábitos saludables también se aprenden. Poco a poco, de forma paulatina, las familias deben inculcar a sus hijos e hijas estos hábitos para que desde pequeños sepan cómo cuidarse y gocen de un estado de bienestar y una buena calidad de vida.
La importancia de educar para la buena alimentación, los hábitos de higiene y el cuidado del cuerpo son tres temas en los que se debe hacer especial hincapié.
La alimentación equilibrada
La población infantil española con problemas de sobrepeso se ha triplicado en los últimos 15 años, debido a causas como los cambios nutricionales o el sedentarismo.
Una alimentación saludable es uno de los pilares del buen estado general y del rendimiento escolar. Será la que proporcione los nutrientes necesarios para un adecuado crecimiento y desarrollo y posibilite la necesaria actividad física. En consecuencia, se adaptará a las necesidades de cada persona, a las diferentes etapas del crecimiento y al ejercicio físico realizado. Es primordial que padres y madres alimenten a los menores de forma equilibrada, variada y suficiente. La siguiente pirámide de la alimentación nos indica cuáles son los tipos de alimentos recomendados y las raciones diarias de cada uno de ellos.
Algunas recomendaciones:
· Las necesidades nutritivas se cubrirán a lo largo del día y se recomienda repartirlas en 5 comidas: desayuno, media mañana, comida, merienda y cena, de manera que de las calorías totales el 25% correspondan al desayuno y la media mañana; el 30 o 40% a la comida; el 10 o 15% a la merienda y el 20 o 30% a la cena. Comer 5 veces al día hace que las digestiones sean mejores y que en ningún momento nos falte energía para afrontar las actividades diarias. Además evitas picar fuera de horas y llegar a la siguiente comida con demasiada hambre. (Si fuese necesario picar entre horas es preferible hacerlo con alimentos como frutas y frutos secos).
Todas las comidas son importantes, pero especialmente el desayuno, que en demasiadas ocasiones se hace mal o no se hace. Después de dormir nuestros niveles de energía por la mañana son bajos, ya que el organismo lleva más de 8 horas sin probar alimento. Debemos procurar que se levanten con el tiempo suficiente y proponerles un desayuno variado, incluso diferente para los distintos días de la semana. Un desayuno completo y equilibrado es el que se compone de un lácteo (leche, cuajada, yogur...), cereales (tostadas, galletas, cereales de desayuno o muesli, etc.) y fruta o zumo.
· Destinar tiempo para no tener que comer con prisa. El hábito de comer con tiempo suficiente debe de aprenderse ya en la infancia y no abandonarlo en la adolescencia. Los padres y las madres deben comprometerse con el ejemplo e intentar en la medida de lo posible que estén acompañados a la hora de comer. Es un buen momento para hablar en familia.
· También es importante tener en cuenta que el mundo que hay en torno a la comida está rodeado de estímulos agradables, por lo que no está bien premiar o castigar a los más pequeños con la comida. Darles una chuchería como recompensa, de forma sistemática, por haber hecho algo bien o amenazar con dejarles sin postre, son dos posturas no recomendables, pues si el menor atribuye a la comida un valor emocional puede llegar a tener una mala relación con los alimentos.
· No se les debe forzar a comer ni consentir caprichos sistemáticos. Hay que buscar alternativas que permitan sustituir alimentos entre sí dentro del mismo grupo y con valores nutritivos similares y que puedan ser mejor aceptados por sus hijos e hijas.
· No es recomendable tener la televisión encendida mientras se come.
· Una medida muy eficaz para inculcar hábitos de alimentación saludables en los menores es dejarlos colaborar en la compra y convertirlos en colaboradores eficaces en la elaboración de las comidas adjudicándoles tareas acordes con la edad. Y eso sin olvidar preparar comidas atractivas para que al menor le entren por los ojos y no las rechace sin más por su aspecto.
Sobre algunos alimentos:
· El pan es un alimento rico en almidón, un hidrato de carbono complejo que proporciona la energía que necesitamos para poder funcionar.
· Los refrescos son bebidas que contienen fundamentalmente agua carbonatada o con gas, azúcares y distintos aditivos (saborizantes, colorantes, conservantes). Las calorías que aportan son "calorías vacías", es decir, que no nutren al organismo.
· La llamada “comida basura” es rica en calorías, grasas, azúcares y sodio. No es bueno abusar de ella.
· Conviene restringir los dulces, “chucherías”, bollería industrial y refrescos sólo a los días de fiesta.
· Si los niños y niñas comen en el comedor escolar, tendremos que preocuparnos de completar en la cena las necesidades diarias.
La alimentación equilibrada y el ejercicio físico saludable favorecen el mantenimiento de una imagen corporal con la que nos sintamos bien y ayudan a evitar los trastornos de la alimentación más habituales, así como la obesidad. De todas formas, cada persona es diferente, su cuerpo es diferente y tiene un desarrollo particular. Es importante ayudarles a adquirir la capacidad de analizar críticamente los modelos físicos, tanto para chicas como para chicos, que se imponen desde la moda, la televisión…, y que se alejan de lo que consideramos saludable.
Hábitos de higiene
Es importante para el bienestar de los niños y niñas que adquieran paulatinamente hábitos de higiene que contribuyan a un crecimiento saludable. Por eso las familias deben enseñarles que es necesario cepillarse los dientes después de todas las comidas, lavarse las manos antes de comer, ducharse diariamente, secarse minuciosamente, cambiarse de ropa interior también todos los días y cuidar su aspecto personal.
A los dos años, es la edad cuando debe empezar el proceso del cepillado de los dientes. En los establecimientos ya hay una amplia gama de cepillos y pastas de dientes especialmente diseñadas para los menores que ayudarán a los padres a hacer que la hora del cepillado sea acogida con mayor agrado por sus hijos.
Muchos de los hábitos saludables comienzan siendo como un juego de imitación de las conductas de las personas mayores, con el interés que tiene para los niños y las niñas el hacer las cosas por sí mismos. Potenciar el elemento lúdico del aprendizaje facilita la adquisición de los hábitos: utilizar una pasta de dientes de sabores que sea diferente a la de los adultos o un cepillo infantil, colocar un pequeño banco que les permita llegar al lavabo por sí mismos, no preocuparse porque se manchen cuando aprenden a comer, presentar las comidas de forma original para que resulten atractivas, dejarles que nos ayuden a cocinar o a decidir qué vamos a comer… Para conseguir incorporar esos hábitos saludables a las rutinas diarias hay que ser constantes e insistir sin desfallecer para que el proceso educativo madure y dé sus frutos.

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Observemos ahora un fragmento de una clase sobre la enseñanza del algoritmo de la división
D: ahora tienen que resolver las otras que están en el pizarrón (cuentas de dividir)
A: A mí no me sale.
D: ¿Por qué?
A: Seño, 845: 41 te da cerca de 20. (El alumno calcula en forma aproximada el cociente).
D: Primero decime por qué el cociente tiene dos cifras.
A: Yo hice cuentas y vi.
D: ¿Qué cuentas?
A: 10 x 33 = 330 y después hice 15.
D: ¿Y por qué llegaste a 15?
A: Porque tengo que ir acercándome a 583
D: Ahora vean la otra cuenta.
A: Si haces 845: 41 el cociente tiene dos cifras.
D: ¿Por qué?
A: Porque 41 x 10 = 410
D: ¿Por qué está bien?
A: (Karen): Porque tiene que dar la misma cantidad de cifras que el divisor (La alumna concluye que, como es todas las cuentas anteriores, el cociente tenía dos cifras, siempre tiene que tener la misma cantidad el divisor y el cociente.)
A: (Yamila): NO, no es cierto, Karen, dijo que el cociente tiene que tener la misma cantidad de cifras que el divisor y si haces 100: 100 te da 1 y no tiene la misma cantidad de cifras (Nace la Teoría Yamila) (Emplea un contraejemplo)
A: Seño, a 41 lo multiplico por 20 y da 840
D: ¿Cuál está más cerca del resultado, el número cuya decena es 1 o 2?.
A: El que es 2.
D: ¿Hay otro más cerca?
A: Es el más cercano porque si lo multiplicas por 21 te da mayor.
D: ¿Entonces el 20 es el más cercano?
Todos: Si
A: La teoría de la seño es que multiplicando, dividís, obviando dividir.
A3: Tarea vacacional. Una carátula con todas las teorías. La de Alexis, la de Rodrigo,
D: Estaría muy bien hacerlo.
Todos: Uh, uh! uh
(Instituto Mons. Aneiros de San José - 4to. Año EGB2 - Docente: Alicia Cansell Fecha: 15 /7/ 2004)
¿Será cierto que enseñando las “cuentas” los niños aprenden a razonar?
Otro ejemplo:
p María tiene 20 figuritas y quiere repartirlas en partes iguales entre 4 amigos. ¿Cuántas figuritas debe darle a cada uno?
p María tiene 20 figuritas y quiere darle 4 figuritas a cada uno de sus amigos. ¿Para cuántos amigos le alcanzan?
Ambos problemas se resuelven con la cuenta 20 dividido 4. Pero, ¿son iguales? El primero la acción indica repartir en partes iguales; el segundo implica una partición en 5 conjuntos de 4 caramelos cada uno.
En general, un niño que ha aprendido que “dividir” es repartir en partes iguales no reconoce el segundo problema como un problema de división.
Con esto se no se propone no presentar problemas de aplicación de algún concepto aprendido. Pero, no sería mejor presentar problemas que representen verdaderos desafíos para nuestro alumnos y,, a partir de ellos enseñar los conceptos nuevos.
Todo alumno debe comprender
p Cuáles son las herramientas necesarias para resolver ciertos problemas y distinguirlos de otros que emplean otras herramientas.
p Que pueden variar los procedimientos y todos ser válidos.
p Que los problemas pueden presentar datos de más, o de menos.
p Que los problemas pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles.
p Qué cada uno tiene la posibilidad de buscar, crear y validar un procedimiento. Nada está hecho.
Trabajando con la divisibilidad
Proponemos a los alumnos:
Si el producto de 13 x 3 es múltiplo de 3, el doble de dicho producto es múltiplo de 3?
La respuesta es sí, pues 39 es múltiplo de 3 pues 3 es uno de los factores. Si al producto lo multiplicamos por 2, es decir hallamos el doble, el producto seguirá siendo múltiplo de 3. Pues éste sigue siendo ipso del número. 13 x 3 x 2
Problemas para trabajar la divisibilidad.
Ejemplo de actividades para 4to. Grado – año Si tengo una cierta cantidad de bombones y los coloco en cajas de a 6 no sobra ninguno. Si los coloco en cajas de a 8 tampoco sobra ninguno. ¿Cuántos bombones podré tener?
Lo que se pretende es, que el alumno, a partir del problema busque un número que sea al mismo tiempo múltiplo de 6 y de 8.
¿Cómo procederá para encontrarlos? Escribiendo los distintos múltiplos hasta encontrar aquellos que cumplan ambas condiciones. Ser múltiplo de 6 y de 8. La respuesta será que existen infinitos múltiplos que cumplen esta condición. Los alumnos deben advertir que existen problemas con muchas soluciones posibles.
Podemos modificar el problema agregando:
· la cantidad de bombones es menor a 100
De esta manera las respuestas posibles serán 48 y 96 en el primer caso, observando que existen dos soluciones posibles.
o* está comprendida entre 100 y 300. Esto obligará a los alumnos a buscar alguna estrategia de cálculo para obtener todas las soluciones posibles. Por ejemplo, encontrar el menor múltiplo, el 48 y luego:
48 x 3 = 144
48 x 4 = 192
48 x 5 = 240
48 x 6 = 288
48 x 7 = mayor a 300

Será importante que los alumnos puedan comenzar a distinguir cuando los problemas tienen infinitas, algunos, una o ninguna solución posible.

Los problemas no se resuelven solamente haciendo cuentas y preguntando si es correcta la respuesta o no. Exigen análisis de condiciones, estrategias cada vez más económicas, planteo de situaciones.
Hablemos un poco más de la división.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos en forma equitativa. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?
Javier tiene 30 figuritas y le quiere dar 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos dará figuritas?
Los enunciados anteriores presentan similitudes y diferencias.
El primero admite varias soluciones posibles, por ejemplo, dar 5 figuritas a un niño, 7 a otro, 8 a un tercero y 10 al cuarto. O bien, 7 a cada uno de los tres primeros y al cuarto 9 figuritas. El enunciado no aclara que el reparto sea en partes iguales. Si no lo dice no se puede asumir que sea así.
El segundo la respuesta será 5 a cada uno, pues es un reparto equitativo.
El tercero no es un problema de reparto, es un problema de partición. Estos problemas son las más difíciles para que los niños los identifiquen como problemas de división.
¿Y con los restos qué?
Luciana tiene 7 globos y los quiere repartir en partes iguales entre dos compañeras, ¿cuántos globos dará a cada una?
Luciana tiene 7 y los quiere repartir en partes iguales y en su totalidad entre dos compañeras, ¿cuántos alfajores dará a cada una?
75 alumnos y 3 maestras de la escuela van al planetario. Si en cada, micro pueden ir hasta 30 personas. ¿Cuántos micros serán necesarios para transportar a todos, con el menor costo posible?.
La solución al primer problema será 3 globos para cada uno y sobrará 1.
La solución al segundo problema será 3 alfajores y la mitad de otro.
La solución al tercer problema será 3 micros. Nadie puede quedar sin ir.
Como se puede observar cada problema presenta una situación a pensar, decidir, argumentar. No todo es cuestión de cuentas.
Problemas para los alumnos.
Tenemos que repartir, en partes iguales, 20 caramelos, entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada uno? ¿Y si la cantidad de caramelos fuera 21; 22; 23; 24; 25?
Se podrá confeccionar una tabla, teniendo en cuenta los distintos restos obtenidos.
20--21--22--23--24--25
30--31--32--33--34--35
Permitirá a los niños observar que los distintos restos son 0; 1; 2; 3; 4. ¿En qué casos se han repartido todo y no sobra nada?. En todos estos números se verifica que: 20 = 4 x 5; 30 = 6 x 5; 25 = 5 x 5, etc. En el resto las distintas expresiones serán 21= 4 x 5 +1; 22= 4 x 5 + 2, etc.
¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener?
Actividades para 4to – 5to. Grado
Si cuento de 4 en 4, a partir del 3, ¿llego al número 96?
Se organiza una reunión y no se sabe si vendrán 4 ó 6 personas. ¿En cuántas partes habrá que cortar la torta para darle la misma cantidad a cada uno y no sobre nada?
Un ejemplo trabajado con los alumnos.
Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo, Verde; Rojo; Blanco.
Se van encendiendo, por minuto. El primer minuto, la luz amarilla, el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto minuto la blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto la verde y así continua.
¿Cuál es el color de la luz en el minuto 7? ¿Y en el minuto 18? ¿Y en el 35? ¿Y en el minuto 100?, ¿Y en el 412? ¿Y en el 2.000?
Para resolverlo algunos alumnos fueron escribiendo, debajo de los colores, los distintos números hasta encontrar la respuesta.
A--V--R--B
1--2--3--4
5--6--7--8
...........
17-18
En el minuto 7 la luz es de color rojo y en el 18 es de color verde.
Al llegar al número 415 uno de los alumnos argumenta:
A1-Yo pensé que 400 es 4 veces 100, entonces es blanca. A partir de ahí conté 15 y llegué a rojo.
Se propuso el número 815. A1-Es igual, rojo, porque 800 va a ser blanca, y a partir de allí, se cuenta. A2-Con el 2.000 también llegas a la luz blanca.
Se propuso el número 2.136 A3-Con 2.000 llegas a la blanca. Habría que contar 136 y ver cuál es la luz.
Se propone descomponer el número 2.136. 2136 = 2.100 + 36 Esto permite que se den cuenta que no necesitan contar con un número tan “grande” como 136.
A partir de aquí los alumnos comienzan a darse cuenta que, una estrategia económica es dividir por 4, el número.
La pregunta es: ¿Cómo darse cuenta mirando, si el número o no es múltiplo de 4 o cuál es el resto que se obtiene.
Los alumnos proponen:
A1 tienen que terminar en 4. (Semejante al reconocimiento de los múltiplos de 5).Se propone el número 14.
A2. Tienen que terminar en 0. (Han probado con 400. 800, 2.000). Se propone el número 70. Algunos sugieren que deben terminar en dos ceros. (Observando los ejemplos dados)
Se proponen los números 436; 1.348; 2.024. Observan que también son múltiplos de 4
Se procede a descomponer los números: 436= 400+36 1.348= 1.300 + 48; 2.024= 2.000 +24
Se concluye que es necesario que las dos últimas cifras sean múltiplos de 4.
Puede observarse que los alumnos han podido "descubrir" cuando un número es múltiplo de 4 y elaborar ellos la regla.

División por dos cifras:

Al comenzar el año, el maestro de 4to año deberá planificar la enseñanza del contenido división entre dos cifras. Para poder abordar dicho contenido, creo que es preciso, en primer término, hacer un análisis o reflexión de los conocimientos que el niño ya posee respecto a la operación división.

¿Qué sabe el niño sobre la división? ¿Cómo hace para dividir entre una cifra? Luego de haber cursado los tres primeros años de primaria, el niño seguramente conozca el algoritmo de la división con divisor de una cifra, trabajo que, de acuerdo a los contenidos programáticos, fue iniciado en segundo año. También se espera que el niño posea un determinado repertorio de cálculo como “las tablas de multiplicar” hasta el 9 y, aunque no recuerde en forma memorística todos los productos, seguramente sea capaz de averiguarlos.

Sería muy valioso también que a esta altura de la etapa escolar, el niño tuviera conocimiento sobre el esquema de la división, de los elementos que la integran (dividendo, divisor, cociente y resto) y las relaciones existentes entre ellos.

En la evaluación inicial considero que es necesario proponer situaciones que nos permitan comprobar que estos conocimientos, con los que “pensábamos contar”, están presentes en el grupo. Aun, de estar presentes, será necesario retomar y resignificar algunos de ellos, pedirles a los niños que expliquen cómo creen ellos que se divide entre una cifra y tratar de

ir pensando junto a ellos qué significado tiene cada uno de los pasos que usan al emplear el algoritmo.

Durante este año trabajé con un grupo de cuarto año que, aunque no estaban acostumbrados

a utilizar procedimientos personales y en principio alegaban que “eso aún no lo sabían” y que “todavía no les habían enseñado a dividir entre dos cifras”, fueron poco a poco encontrando el modo, recuperando, revalorizando y aprovechando los conocimientos que

sí tenían sobre la división.

Las socializaciones acerca de las diferentes estrategias utilizadas por los distintos niños y grupos de niños (puesto que en muchas de las situaciones trabajaron en duplas) fueron realmente interesantes y valiosas, ya que aportaron nuevas ideas al grupo, algunas de las cuales fueron adoptadas por otros compañeros.

A continuación se presentan algunas situaciones propuestas en clase y las estrategias utilizadas por algunos niños.

Se quiere distribuir un alfajor a cada niño de los 245 que concurren a una colonia de vacaciones. Cada caja contiene 18 alfajores. ¿Cuántas cajas hay que abrir?

Esta situación fue propuesta al grupo al poco tiempo de haber comenzado el año. Varios de los niños no supieron cómo resolverla.

Aquellos que lo hicieron, la resolvieron en su mayoría mediante sumas sucesivas. Algunos alumnos reconocían que podían resolver la situación aplicando una división, pero se negaban a hacerlo debido a que aún “no sabían”

La resolución que se presenta pertenece a una situación propuesta un tiempo después.

En ella se evidencian avances respecto de las anteriores, ya que la alumna no utiliza sumas sucesivas, sino que se vale de sus repertorios de cálculo para resolver la situación de un modo más económico. Al solicitarle a la niña que explicara lo que había escrito, ella argumentó: “diez veces las filitas de 15 (ancho) da 150, y si pongo diez filitas más llego a 300”.

Luego le faltaban 90 y explica “como 15 más 15 es 30 y el 30 entra 3 veces en el 90, son seis filitas más; así que en total tengo 26 filitas que serían las 26 baldosas del largo”.

Otro grupo de niños resolvió esta situación diseñando una tabla de multiplicar por 26, porque según explicaron tenían que encontrar un número que multiplicado por 26 les diera por resultado 390, y resolvieron hacerlo mediante el mismo procedimiento que empleaban para dividir entre una cifra, pero necesitaban consultar la “tabla del 26”.

El analizar este tipo de avances junto a los niños, comparando las diversas estrategias, buscando lo que tienen en común y consultándoles cuáles de ellas les resulta más efectivas y por qué, hace que los niños trabajen con más entusiasmo y continúen avanzando, lo cual no significa que siguiendo este camino logren adquirir el algoritmo tradicional de la división entre dos cifras, tal como nosotros lo aprendimos.

Otra situación y nuevas estrategias:

Llegaron materiales a la escuela y fueron repartidos entre las 14 clases. Si las 456 gomas que llegaron fueron repartidas en forma equitativa, ¿cuántas gomas le corresponden a cada clase?

Esta situación fue propuesta al grupo al poco tiempo de haber comenzado el año. Varios de los niños no supieron cómo resolverla.

Aquellos que lo hicieron, la resolvieron en su mayoría mediante sumas sucesivas. Algunos alumnos reconocían que podían resolver la situación aplicando una división, pero se negaban a hacerlo debido a que aún “no sabían” dividir entre dos cifras.

Otro procedimiento que surgió implicaba el reconocimiento de la proporcionalidad directa, relacionando la cantidad de cajas con la cantidad de niños.

La socialización de los diferentes modos de resolver esta situación en particular, sirvió sobre todo para que esos alumnos que se habían bloqueado debido a desconocer una técnica para efectuar la operación, se dieran cuenta de que, a pesar de “no saber”, había modos de lograrlo.

Un piso tiene 15 baldosas de ancho y un total de 390 baldosas.

Corta la tira de papel de manera que represente ese piso.

(Se les entrega una tira de papel cuadriculado de 15 cuadraditos de ancho y 45 de largo).

A) ¿Puedes resolver por dónde cortar con una sola operación? ¿Cuál sería?

B) ¿Cuántas baldosas tiene el piso a lo largo?

Las dos estrategias presentadas son interesantes de analizar. En la primera aparecen repertorios de cálculo, conocimiento sobre proporcionalidad directa, así como también un conocimiento de la relación entre los términos de la división. Esto último se pone de manifiesto, ya que a pesar de que obtiene el resultado mediante un procedimiento artesanal, realiza después el desarrollo de la división, utilizando su conocimiento de la división entre números de una cifra.

En la segunda estrategia presentada, la alumna explicó que trazó una línea sobre el 4 y el 5 porque quería hacer lo mismo que al dividir entre una cifra, entonces como 4 no le alcanzaba para repartir entre 14 usó la cifra contigua y trabajó con 45 que sí le alcanzaba; luego probó multiplicar 14 por 4, 3 y 2, y con los productos resultantes efectuó la división.

Al ser explicada esta estrategia a la clase por parte de la alumna, se retomó la situación planteada al comenzar el año respecto de la división entre una cifra, acerca de por qué decían que “no les alcanzaba”. En este caso, la compañera decía que 4 no le alcanzaba, no quedando explicitado que esa cifra ocupa el lugar de las centenas y, por tanto, representa 400 unidades.

La intervención docente consistió en preguntar a los niños cuántas gomas se estaban repartiendo al considerar “45”. Pudieron concluir que eran 450 y, por tanto, 45 decenas. También se analizó entonces que si lo que se estaba repartiendo eran 45 decenas entre 14, las tres veces que entra el 14 en el 45 equivaldrían a tres decenas.

Luego de brindar al niño los espacios y oportunidades necesarias para reflexionar sobre la división e idear sus propias formas de realizar el cálculo, y ya con más herramientas para poder comprender otras estrategias, uno de los niños explicó cómo le habían enseñado en su casa a dividir, y con la participación de todo el grupo se fue analizando el significado de cada paso de resolución, comparándolos con los otros métodos ideados por él y sus compañeros.

Los procedimientos que fueron creando los alumnos fueron evolucionando a lo largo del año. Durante este proceso, los niños tuvieron oportunidades para desplegar sus propios procedimientos y poder utilizar aquellos que les resultaran más comprensibles. Esto les brindó seguridad y confianza para continuar elaborando estrategias para la resolución de nuevos problemas, y les ayudó a comprender que para toda situación puede existir más de un procedimiento válido de resolución. Por otra parte, se continuaron analizando, tanto en el algoritmo tradicional (adoptado por algunos niños) como en los artesanales, aspectos que hacen a la comprensión de la división entre dos cifras, tales como: discutir acerca de la pertinencia de un resultado; la relevancia y el valor del resto, de acuerdo a lo que plantea el problema; el trabajo con el cálculo mental que les permita estimar un rango en el cual puede ubicarse el cociente buscado; el análisis de las relaciones y propiedades que se evidencian en los cálculos y en el sistema de numeración; el establecimiento de relaciones con el resto de las operaciones; el modo de validar los resultados obtenidos; el tipo de representaciones que se utilizan.

En ningún momento se le otorgó más valor al empleo de un tipo de algoritmo en particular.

La idea no es que el alumno memorice y reitere determinadas reglas o recetas, sino que logre resolver problemas empleando sus propias formas de razonar, que comprenda el significado de la división y haga propio algún mecanismo que le permita resolverla empleando el método que le resulte más eficaz en cada situación, siguiendo una lógica que le permita, a su vez, validar los resultados.

A medida que el niño adquiera mayor sentido de los números, mayor dominio del cálculo mental y de las propiedades del sistema de numeración, logrará utilizar modos más cortos de escritura, estimando con mayor eficacia las cifras del resultado o cociente, y permitiéndole pensar con lógica sus propios procedimientos e incluso aquellos que obtenga a través de una calculadora.

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