D: ahora tienen que resolver las otras que están en el pizarrón (cuentas de dividir)
A: A mí no me sale.
D: ¿Por qué?
A: Seño, 845: 41 te da cerca de 20. (El alumno calcula en forma aproximada el cociente).
D: Primero decime por qué el cociente tiene dos cifras.
A: Yo hice cuentas y vi.
D: ¿Qué cuentas?
A: 10 x 33 = 330 y después hice 15.
D: ¿Y por qué llegaste a 15?
A: Porque tengo que ir acercándome a 583
D: Ahora vean la otra cuenta.
A: Si haces 845: 41 el cociente tiene dos cifras.
D: ¿Por qué?
A: Porque 41 x 10 = 410
D: ¿Por qué está bien?
A: (Karen): Porque tiene que dar la misma cantidad de cifras que el divisor (La alumna concluye que, como es todas las cuentas anteriores, el cociente tenía dos cifras, siempre tiene que tener la misma cantidad el divisor y el cociente.)
A: (Yamila): NO, no es cierto, Karen, dijo que el cociente tiene que tener la misma cantidad de cifras que el divisor y si haces 100: 100 te da 1 y no tiene la misma cantidad de cifras (Nace la Teoría Yamila) (Emplea un contraejemplo)
A: Seño, a 41 lo multiplico por 20 y da 840
D: ¿Cuál está más cerca del resultado, el número cuya decena es 1 o 2?.
A: El que es 2.
D: ¿Hay otro más cerca?
A: Es el más cercano porque si lo multiplicas por 21 te da mayor.
D: ¿Entonces el 20 es el más cercano?
Todos: Si
A: La teoría de la seño es que multiplicando, dividís, obviando dividir.
A3: Tarea vacacional. Una carátula con todas las teorías. La de Alexis, la de Rodrigo,
D: Estaría muy bien hacerlo.
Todos: Uh, uh! uh
(Instituto Mons. Aneiros de San José - 4to. Año EGB2 - Docente: Alicia Cansell Fecha: 15 /7/ 2004)
¿Será cierto que enseñando las “cuentas” los niños aprenden a razonar?
Otro ejemplo:
p María tiene 20 figuritas y quiere repartirlas en partes iguales entre 4 amigos. ¿Cuántas figuritas debe darle a cada uno?
p María tiene 20 figuritas y quiere darle 4 figuritas a cada uno de sus amigos. ¿Para cuántos amigos le alcanzan?
Ambos problemas se resuelven con la cuenta 20 dividido 4. Pero, ¿son iguales? El primero la acción indica repartir en partes iguales; el segundo implica una partición en 5 conjuntos de 4 caramelos cada uno.
En general, un niño que ha aprendido que “dividir” es repartir en partes iguales no reconoce el segundo problema como un problema de división.
Con esto se no se propone no presentar problemas de aplicación de algún concepto aprendido. Pero, no sería mejor presentar problemas que representen verdaderos desafíos para nuestro alumnos y,, a partir de ellos enseñar los conceptos nuevos.
Todo alumno debe comprender
p Cuáles son las herramientas necesarias para resolver ciertos problemas y distinguirlos de otros que emplean otras herramientas.
p Que pueden variar los procedimientos y todos ser válidos.
p Que los problemas pueden presentar datos de más, o de menos.
p Que los problemas pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles.
p Qué cada uno tiene la posibilidad de buscar, crear y validar un procedimiento. Nada está hecho.
Trabajando con la divisibilidad
Proponemos a los alumnos:
Si el producto de 13 x 3 es múltiplo de 3, el doble de dicho producto es múltiplo de 3?
La respuesta es sí, pues 39 es múltiplo de 3 pues 3 es uno de los factores. Si al producto lo multiplicamos por 2, es decir hallamos el doble, el producto seguirá siendo múltiplo de 3. Pues éste sigue siendo ipso del número. 13 x 3 x 2
Problemas para trabajar la divisibilidad.
Ejemplo de actividades para 4to. Grado – año Si tengo una cierta cantidad de bombones y los coloco en cajas de a 6 no sobra ninguno. Si los coloco en cajas de a 8 tampoco sobra ninguno. ¿Cuántos bombones podré tener?
Lo que se pretende es, que el alumno, a partir del problema busque un número que sea al mismo tiempo múltiplo de 6 y de 8.
¿Cómo procederá para encontrarlos? Escribiendo los distintos múltiplos hasta encontrar aquellos que cumplan ambas condiciones. Ser múltiplo de 6 y de 8. La respuesta será que existen infinitos múltiplos que cumplen esta condición. Los alumnos deben advertir que existen problemas con muchas soluciones posibles.
Podemos modificar el problema agregando:
· la cantidad de bombones es menor a 100
De esta manera las respuestas posibles serán 48 y 96 en el primer caso, observando que existen dos soluciones posibles.
o* está comprendida entre 100 y 300. Esto obligará a los alumnos a buscar alguna estrategia de cálculo para obtener todas las soluciones posibles. Por ejemplo, encontrar el menor múltiplo, el 48 y luego:
48 x 3 = 144
48 x 4 = 192
48 x 5 = 240
48 x 6 = 288
48 x 7 = mayor a 300
Será importante que los alumnos puedan comenzar a distinguir cuando los problemas tienen infinitas, algunos, una o ninguna solución posible.
Los problemas no se resuelven solamente haciendo cuentas y preguntando si es correcta la respuesta o no. Exigen análisis de condiciones, estrategias cada vez más económicas, planteo de situaciones.
Hablemos un poco más de la división.
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?
Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos en forma equitativa. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?
Javier tiene 30 figuritas y le quiere dar 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos dará figuritas?
Los enunciados anteriores presentan similitudes y diferencias.
El primero admite varias soluciones posibles, por ejemplo, dar 5 figuritas a un niño, 7 a otro, 8 a un tercero y 10 al cuarto. O bien, 7 a cada uno de los tres primeros y al cuarto 9 figuritas. El enunciado no aclara que el reparto sea en partes iguales. Si no lo dice no se puede asumir que sea así.
El segundo la respuesta será 5 a cada uno, pues es un reparto equitativo.
El tercero no es un problema de reparto, es un problema de partición. Estos problemas son las más difíciles para que los niños los identifiquen como problemas de división.
¿Y con los restos qué?
Luciana tiene 7 globos y los quiere repartir en partes iguales entre dos compañeras, ¿cuántos globos dará a cada una?
Luciana tiene 7 y los quiere repartir en partes iguales y en su totalidad entre dos compañeras, ¿cuántos alfajores dará a cada una?
75 alumnos y 3 maestras de la escuela van al planetario. Si en cada, micro pueden ir hasta 30 personas. ¿Cuántos micros serán necesarios para transportar a todos, con el menor costo posible?.
La solución al primer problema será 3 globos para cada uno y sobrará 1.
La solución al segundo problema será 3 alfajores y la mitad de otro.
La solución al tercer problema será 3 micros. Nadie puede quedar sin ir.
Como se puede observar cada problema presenta una situación a pensar, decidir, argumentar. No todo es cuestión de cuentas.
Problemas para los alumnos.
Tenemos que repartir, en partes iguales, 20 caramelos, entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada uno? ¿Y si la cantidad de caramelos fuera 21; 22; 23; 24; 25?
Se podrá confeccionar una tabla, teniendo en cuenta los distintos restos obtenidos.
20--21--22--23--24--25
30--31--32--33--34--35
Permitirá a los niños observar que los distintos restos son 0; 1; 2; 3; 4. ¿En qué casos se han repartido todo y no sobra nada?. En todos estos números se verifica que: 20 = 4 x 5; 30 = 6 x 5; 25 = 5 x 5, etc. En el resto las distintas expresiones serán 21= 4 x 5 +1; 22= 4 x 5 + 2, etc.
¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener?
Actividades para 4to – 5to. Grado
Si cuento de 4 en 4, a partir del 3, ¿llego al número 96?
Se organiza una reunión y no se sabe si vendrán 4 ó 6 personas. ¿En cuántas partes habrá que cortar la torta para darle la misma cantidad a cada uno y no sobre nada?
Un ejemplo trabajado con los alumnos.
Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo, Verde; Rojo; Blanco.
Se van encendiendo, por minuto. El primer minuto, la luz amarilla, el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto minuto la blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto la verde y así continua.
¿Cuál es el color de la luz en el minuto 7? ¿Y en el minuto 18? ¿Y en el 35? ¿Y en el minuto 100?, ¿Y en el 412? ¿Y en el 2.000?
Para resolverlo algunos alumnos fueron escribiendo, debajo de los colores, los distintos números hasta encontrar la respuesta.
A--V--R--B
1--2--3--4
5--6--7--8
...........
17-18
En el minuto 7 la luz es de color rojo y en el 18 es de color verde.
Al llegar al número 415 uno de los alumnos argumenta:
A1-Yo pensé que 400 es 4 veces 100, entonces es blanca. A partir de ahí conté 15 y llegué a rojo.
Se propuso el número 815. A1-Es igual, rojo, porque 800 va a ser blanca, y a partir de allí, se cuenta. A2-Con el 2.000 también llegas a la luz blanca.
Se propuso el número 2.136 A3-Con 2.000 llegas a la blanca. Habría que contar 136 y ver cuál es la luz.
Se propone descomponer el número 2.136. 2136 = 2.100 + 36 Esto permite que se den cuenta que no necesitan contar con un número tan “grande” como 136.
A partir de aquí los alumnos comienzan a darse cuenta que, una estrategia económica es dividir por 4, el número.
La pregunta es: ¿Cómo darse cuenta mirando, si el número o no es múltiplo de 4 o cuál es el resto que se obtiene.
Los alumnos proponen:
A1 tienen que terminar en 4. (Semejante al reconocimiento de los múltiplos de 5).Se propone el número 14.
A2. Tienen que terminar en 0. (Han probado con 400. 800, 2.000). Se propone el número 70. Algunos sugieren que deben terminar en dos ceros. (Observando los ejemplos dados)
Se proponen los números 436; 1.348; 2.024. Observan que también son múltiplos de 4
Se procede a descomponer los números: 436= 400+36 1.348= 1.300 + 48; 2.024= 2.000 +24
Se concluye que es necesario que las dos últimas cifras sean múltiplos de 4.
Puede observarse que los alumnos han podido "descubrir" cuando un número es múltiplo de 4 y elaborar ellos la regla.
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